Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có thể tích bằng $\frac{a^{2}b}{3}$ với $AB=a$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$, trên các cạnh $AB,SD$ lần lượt lấy các điểm $E,F$ sao cho $EF$ song song $BG$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $DG$ và $EF$?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),S\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};b\right)$ vì $V=\frac{1}{3}{a}^{2}h=\frac{a^{2}b}{3}\Rightarrow h=SO=b$.

Trọng tâm $G$ của $SCD$: $G=\left(\frac{a}{2};\frac{5a}{6};\frac{b}{3}\right)$.

Gọi $E=(t;0;0)\in AB$, $F=S+u(D-S)=\left(\frac{a}{2}(1-u);\frac{a}{2}(1+u);b(1-u)\right)$.

Từ $EF\parallel \overrightarrow{BG}=\left(-\frac{a}{2};\frac{5a}{6};\frac{b}{3}\right)$: so sánh tung độ cho $1+u=5(1-u)\Rightarrow u=\frac{2}{3}$; so sánh cao độ cho hệ số tỉ lệ $\lambda =1$; so sánh hoành độ cho $E_x=\frac{2a}{3}$. Vậy $E=\left(\frac{2a}{3};0;0\right)$, $F=\left(\frac{a}{6};\frac{5a}{6};\frac{b}{3}\right)$, kiểm tra $\overrightarrow{EF}=\left(-\frac{a}{2};\frac{5a}{6};\frac{b}{3}\right)=\overrightarrow{BG}$.

Vì $EF\parallel BG$ và $BG\subset (BDG)$ nên $EF\parallel (BDG)$, do đó $d(DG,EF)=d(EF,(BDG))=d(E,(BDG))$.

Vectơ pháp tuyến của $(BDG)$: $\overrightarrow{DB}\times \overrightarrow{DG}=\left(-\frac{ab}{3};-\frac{ab}{3};\frac{a^2}{3}\right)\parallel (-b;-b;a)$, phương trình mặt phẳng: $b(x+y-a)-az=0$.

Khoảng cách từ $E$:
$$d=\frac{\left|b\left(\frac{2a}{3}+0-a\right)\right|}{\sqrt{a^2+2b^2}}=\frac{ab}{3\sqrt{a^2+2b^2}}.$$

Kiểm tra với $F$: $\frac{\left|b(a-a)-a\cdot \frac{b}{3}\right|}{\sqrt{a^2+2b^2}}=\frac{ab}{3\sqrt{a^2+2b^2}}$ — trùng nhau, xác nhận $EF\parallel (BDG)$.