Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có thể tích bằng $\frac{a^{2}b}{3}$ với $AB=a$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$, trên các cạnh $AB,SD$ lần lượt lấy các điểm $E,F$ sao cho $EF$ song song $BG$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $DG$ và $EF$?

Lời giải:



Gọi $M$ là trung điểm $CD$, $O$ là trung điểm $BD$. Do $S.ABCD$ là khối chóp tứ giác đều nên $ABCD$ là hình vuông và $SO\perp (ABCD)$.

Do $V_{S.ABCD}=\frac{S_{ABCD}.SO}{3}=\frac{a^2.SO}{3}=\frac{a^{2}b}{3}\Rightarrow SO=b$.

Ta có
$$<table><tbody><tr><td>BE\parallel CD\Rightarrow BE\parallel (SCD)</td></tr><tr><td>(BEFG)\cap (SCD)=GF</td></tr></tbody></table>\}\Rightarrow BE\parallel GF\text{ maˋ }BE\parallel CD\Rightarrow GF\parallel CD.$$

Do $G$ là trọng tâm $\Delta SCD$ nên $\frac{SG}{SM}=\frac{2}{3}$ mà $GF\parallel CD$ nên $\frac{GF}{DM}=\frac{SF}{SD}=\frac{SG}{SM}=\frac{2}{3}$.

Trên tia đối của tia $DC$ lấy điểm $N$ sao cho $DN=GF=\frac{2}{3}DM$. Từ đó ta có $DNFG$ và $BEND$ là hai hình bình hành và $(BDG)\parallel (NEF)$.

Trên đoạn thẳng $OD$ lấy điểm $K$ sao cho $\frac{KD}{OD}=\frac{DF}{SD}=\frac{1}{3}$, từ đó ta có $FK\parallel SO$ mà $SO\perp (ABCD)$ suy ra $FK\perp (ABCD)$.

Hạ $KP\perp EN$ và $KH\perp PF$, do $FK\perp (ABCD)$ nên $FK\perp KP$.

Do $\{\begin{array}{l}EN\perp KP\\ EN\perp FK\end{array}\Rightarrow EN\perp (FKP)\Rightarrow EN\perp KH$ mà $KH\perp PF$ suy ra $KH\perp (NEF)$.

Khi đó: $d(DG,EF)=d(DG,(NEF))=d((BDG),(NEF))=d(K,(NEF))=KH$.

Ta có: $BE=GF=\frac{2}{3}MD=\frac{2}{3}.\frac{CD}{2}=\frac{CD}{3}=\frac{a}{3}$

Do $FK\parallel SO$ nên $\frac{FK}{SO}=\frac{DF}{DS}=\frac{1}{3}$, suy ra $FK=\frac{1}{3}SO=\frac{b}{3}$.

Hạ $EJ\perp BD$. Do $EN\parallel BD$, $KP\perp EN$, $EJ\perp BD\Rightarrow KP=EJ=BE.\sin 45^{\circ }=\frac{a}{3}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{6}$.

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông $FKP$ với đường cao $KH$ ta có:
$$\frac{1}{K{H}^2}=\frac{1}{K{F}^2}+\frac{1}{K{P}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{b}{3}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{6}\right)}^2}=\frac{9\left(2b^2+a^2\right)}{a^2{b}^2}\Rightarrow KH=\frac{ab}{3\sqrt{2b^2+a^2}}.$$

Vậy $d(DG,EF)=\frac{ab}{3\sqrt{2b^2+a^2}}$.