Cho khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là tam giác vuông tại $A^{\prime }$ với $A^{\prime }{B}^{\prime }=a;B^{\prime }{C}^{\prime }=2a$. Mặt bên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là hình thoi có $\widehat{AB{B}^{\prime }}=60^{\circ }$. Gọi K là trung điểm của $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $AK$ bằng $\frac{3a}{4}$.

Gọi E là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime }$
Tam giác $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ có $A^{\prime }A=A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $\widehat{A{A}^{\prime }{B}^{\prime }}=\widehat{AB{B}^{\prime }}=60^{\circ }$ nên tam giác $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ là tam giác đều cạnh a.
Suy ra $AE\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ (1)
KE là đường trung bình của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $KE//A^{\prime }{C}^{\prime }$
Mà $A^{\prime }{C}^{\prime }\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên $KE\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp (AEK)$
Vẽ $AH\perp KE$, Suy ra $AH\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$

Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông tại $A^{\prime }$ nên $A^{\prime }{C}^{\prime }=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$
Suy ra $KE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tam giác $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ đều cạnh a, có đường cao AE nên $AE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Suy ra tam giác AKE cân tại E
Gọi F là trung điểm AK thì $EF\perp AK$
Lại có, $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp (AKE)$ nên $EF\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên $d(A^{\prime }{B}^{\prime },AK)=EF=\frac{3a}{4}$

Tam giác $AEF$ vuông tại F có $AF=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{3a}{4}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Suy ra $AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy tam giác $AKE$ đều cạnh $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ có đường cao $AH$ nên
$$AH=\frac{3a}{4}$$
$$V_{ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.\frac{3a}{4}=\frac{3\sqrt{3}.a^3}{8}$$