Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SA\perp (ABCD)$. Biết góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

b) Tính khoảng cách từ $AB$ đến $(SCD)$.

c) Tính cosin của góc nhị diện $[S,DM,A]$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;h)$ với $h=SA$.

a) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SBA}=60^{\circ }$. Trong tam giác $SAB$ vuông tại $A$: $\tan 60^{\circ }=\frac{SA}{AB}\Rightarrow SA=a\sqrt{3}$.
Thể tích: $V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$.

b) Vì $AB\parallel CD\subset (SCD)$ nên $AB\parallel (SCD)$, do đó $d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))$.
Mặt phẳng $(SCD)$ qua $D(0;a;0)$, có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{DC}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{DS}=(0;-a;a\sqrt{3})$, VTPT $\vec{n}=\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DS}=(0;-a^2\sqrt{3};-a^2)$, phương trình: $\sqrt{3}y+z=a\sqrt{3}$.
Khoảng cách: $d=\frac{|0+0-a\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

c) Góc nhị diện $[S,DM,A]$ có cạnh $DM$, hai mặt là $(SDM)$ và $(ADM)\equiv (ABCD)$.
- VTPT của $(ABCD)$: $\vec{k}=(0;0;1)$.
- $(SDM)$ qua $S(0;0;a\sqrt{3})$, $D(0;a;0)$, $M(a;\frac{a}{2};0)$: $\overrightarrow{DM}=(a;-\frac{a}{2};0)$, $\overrightarrow{DS}=(0;-a;a\sqrt{3})$, VTPT $\vec{n}=\overrightarrow{DM}\times \overrightarrow{DS}=\left(-\frac{a^2\sqrt{3}}{2};-a^2\sqrt{3};-a^2\right)$, lấy $\vec{n}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\sqrt{3};1\right)$.
Cosin góc giữa hai mặt phẳng: $\cos \phi =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{k}|}{|\vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}+3+1}}=\frac{2}{\sqrt{19}}=\frac{2\sqrt{19}}{19}$.

Đáp số: a) $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$; b) $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}$; c) $\cos [S,DM,A]=\frac{2\sqrt{19}}{19}$.