Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $x,y\ge 0$ và ${\log }_{2x+2y+3}\left(x^2+y^2+1\right)\le 1$. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x)=x^2+y^2-10x-8y$ lần lượt là $M,m$. Hãy tính giá trị của biểu thức $T=|9M+m|$?

(AI giải đề cho tôi)
Do cơ số $2x+2y+3\ge 3>1$, bất phương trình ${\log }_{2x+2y+3}(x^2+y^2+1)\le 1$ tương đương $x^2+y^2+1\le 2x+2y+3$, tức $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2\le 3$. Vậy tập hợp các điểm là phần nằm trong góc phần tư thứ nhất của đường tròn tâm $I(1;1)$ bán kính $R=\sqrt{3}$.

Ta có $F=x^2+y^2-10x-8y=(x-5{)}^2+(y-4{)}^2-41$, tức $F+41$ bằng bình phương khoảng cách từ $(x;y)$ đến điểm $A(5;4)$.

**Giá trị nhỏ nhất $m$:** Điểm gần $A$ nhất trong miền là $I+R\cdot \frac{\overrightarrow{IA}}{|IA|}$ với $|IA|=5$. Điểm này có tọa độ $\left(1+\frac{3\sqrt{3}}{5};1+\frac{4\sqrt{3}}{5}\right)$, đều dương nên thuộc miền. Khi đó khoảng cách là $5-\sqrt{3}$, suy ra $m=(5-\sqrt{3}{)}^2-41=28-10\sqrt{3}-41=-13-10\sqrt{3}$.

**Giá trị lớn nhất $M$:** Điểm xa $A$ nhất (không ràng buộc) là $\left(1-\frac{3\sqrt{3}}{5};1-\frac{4\sqrt{3}}{5}\right)$ nhưng có tọa độ âm, không thuộc miền. Đường tròn cắt trục $Oy$ tại $(0;1\pm \sqrt{2})$, chỉ lấy $(0;1+\sqrt{2})$; cắt trục $Ox$ tại $(1+\sqrt{2};0)$. Trên cung tròn trong góc phần tư thứ nhất, khoảng cách đến $A(5;4)$ lớn nhất tại $(0;1+\sqrt{2})$: bình phương khoảng cách $=25+(3-\sqrt{2}{)}^2=36-6\sqrt{2}$ (so sánh với $(1+\sqrt{2};0)$: $34-8\sqrt{2}$ nhỏ hơn). Vậy $M=36-6\sqrt{2}-41=-5-6\sqrt{2}$.

**Tính $T$:**
$$T=|9M+m|=|9(-5-6\sqrt{2})+(-13-10\sqrt{3})|=|-58-54\sqrt{2}-10\sqrt{3}|=58+54\sqrt{2}+10\sqrt{3}.$$

Vậy $T=58+54\sqrt{2}+10\sqrt{3}\approx 151,69$.