Cho lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=\sqrt{6}$, $AD=\sqrt{3}$, $A^{\prime }C=3$ và mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$ tạo với nhau góc $\alpha$ có $\tan \alpha =\frac{3}{4}$. Gọi $M$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $K$ là hình chiếu của $B$ trên $AC$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(\sqrt{6};0;0)$, $D(0;\sqrt{3};0)$, $C(\sqrt{6};\sqrt{3};0)$ với $AC=\sqrt{6+3}=3$. Vì $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)\perp (ABCD)$ và chứa $AC$ nên $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=s\overrightarrow{AC}+(0;0;b)=\left(s\sqrt{6};s\sqrt{3};b\right)$.

Tìm $s,b$: Pháp tuyến $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$: $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{AC}\times \vec{k}=(\sqrt{3};-\sqrt{6};0)$, $|\overrightarrow{n_1}|=3$. Pháp tuyến $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$: $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\sqrt{6}(0;-b;s\sqrt{3})$, $|\overrightarrow{n_2}|=\sqrt{6}\sqrt{b^2+3s^2}$. Vì $\tan \alpha =\frac{3}{4}$ nên $\cos \alpha =\frac{4}{5}$: $\frac{6b}{3\sqrt{6}\sqrt{b^2+3s^2}}=\frac{4}{5}\Rightarrow b^2=72s^2$. Kết hợp $A^{\prime }C=3$: $9(1-s{)}^2+b^2=9\Rightarrow 9-18s+81s^2=9\Rightarrow s=\frac{2}{9}$, $b=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.

a) Sai. Pháp tuyến của $(A{A}^{\prime }B)$: $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\left(0;-\frac{8\sqrt{3}}{3};\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$, của $(A{A}^{\prime }D)$: $\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\left(\frac{4\sqrt{6}}{3};0;-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$. $\cos \phi =\frac{8/9}{\frac{2\sqrt{34}}{3}\cdot \frac{2\sqrt{26}}{3}}=\frac{1}{\sqrt{221}}\approx 0,067$, suy ra $\phi \approx 86,1^{\circ }\ne 90^{\circ }=\widehat{BAD}$ (và $\sin \phi \ne 1$). Vậy khẳng định a) sai.

b) Đúng. $M$ trung điểm $A{A}^{\prime }$ nên $C{M}^2=9{\left(1-\frac{s}{2}\right)}^2+\frac{b^2}{4}=9{\left(\frac{8}{9}\right)}^2+\frac{32/9}{4}=\frac{64}{9}+\frac{8}{9}=8\Rightarrow CM=2\sqrt{2}$.

c) Đúng. $V=AB\cdot AD\cdot h=\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{4\sqrt{2}}{3}=3\sqrt{2}\cdot \frac{4\sqrt{2}}{3}=8$.

d) Đúng. $K$ là hình chiếu của $B$ trên $AC$ nên $BK\perp AC$, $BK\subset (ABCD)$. Thành phần ngang của $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ song song với $\overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=0$; cụ thể với $K=\left(\frac{2\sqrt{6}}{3};\frac{2\sqrt{3}}{3};0\right)$, $\overrightarrow{BK}=\left(\frac{\sqrt{6}}{3};-\frac{2\sqrt{3}}{3};0\right)$ và $\overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{12}{27}-\frac{12}{27}=0$. Vậy $BK\perp A{A}^{\prime }$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Góc nhị diện $[B,A{A}^{\prime },D]$ có $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{221}}\approx 0,067$, suy ra $\phi \approx 86,1^{\circ }\ne 90^{\circ }=\widehat{BAD}$, tức $\sin \phi \ne 1=\sin \widehat{BAD}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $s=\frac{2}{9}$, $b=\frac{4\sqrt{2}}{3}$: $C{M}^2=9{\left(\frac{8}{9}\right)}^2+\frac{b^2}{4}=\frac{64}{9}+\frac{8}{9}=8\Rightarrow CM=2\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $V=AB\cdot AD\cdot h=\sqrt{6}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{4\sqrt{2}}{3}=8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $BK\subset (ABCD)$, $BK\perp AC$; thành phần ngang của $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ song song $\overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=0$, tức $BK\perp A{A}^{\prime }$.