Cho $f(x)$ là đa thức thỏa mãn $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-27}{x-3}=9$.

Tính giới hạn $L=\underset{x\to 3}{\lim }\left[2f(x)-19x+3\right]\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x^2-3x}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-27}{x-3}=9$ và $f$ là đa thức suy ra $f(3)=27$, $f^{\prime }(3)=9$. Đặt $g(x)=2f(x)-19x+3$ thì $g(3)=54-57+3=0$ và $g^{\prime }(3)=2f^{\prime }(3)-19=18-19=-1$, nên $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{g(x)}{x-3}=-1$. Mặt khác $\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x^2-3x}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x(x-3)}=\frac{x-1}{x(x-3)}$. Do đó $L=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{g(x)}{x-3}\cdot \frac{x-1}{x}=(-1)\cdot \frac{3-1}{3}=-\frac{2}{3}$. Vậy chọn đáp án C.