Cho tứ diện $ABCD$ có $DA=DB=DC=6$ và đôi một vuông góc với nhau. Điểm $M$ thay đổi trong tam giác $ABC$. Các đường thẳng đi qua $M$ song song $DA,DB,DC$ theo thứ tự cắt các mặt phẳng $(DBC),(DCA),(DAB)$ lần lượt tại $A_1;B_1;C_1$. Tìm thể tích lớn nhất của khối tự diện $M{A}_1{B}_1{C}_1$ khi $M$ thay đổi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ gốc $D$, trục $Dx,Dy,Dz$ theo thứ tự trùng $DA,DB,DC$ (ba cạnh đôi một vuông góc, dài 6). Khi đó $A(6;0;0),B(0;6;0),C(0;0;6)$, mặt phẳng $(ABC)$: $x+y+z=6$. Điểm $M(x;y;z)$ trong tam giác $ABC$ nên $x,y,z\ge 0$, $x+y+z=6$.

Đường qua $M$ song song $DA$ (trục $Dx$) cắt mặt $(DBC)$ (là mặt $x=0$) tại $A_1(0;y;z)$, nên $M{A}_1=x$. Tương tự $M{B}_1=y$, $M{C}_1=z$, ba đoạn này đôi một vuông góc.

Thể tích khối tứ diện $M{A}_1{B}_1{C}_1$: $V=\frac{1}{6}xyz$.

Theo AM–GM: $xyz\le {\left(\frac{x+y+z}{3}\right)}^3=2^3=8$, dấu bằng khi $x=y=z=2$ (tức $M$ là trọng tâm tam giác $ABC$).

Vậy $V_{\max }=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\approx 1,33$.