Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ và mặt bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình vuông cạnh bằng $a$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính tang của góc giữa đường thẳng $B{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.

Mặt bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AB=A{A}^{\prime }=a$.
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AC=AB=a\Rightarrow A^{\prime }{C}^{\prime }=a$.
Vì lăng trụ đứng nên $C^{\prime }{A}^{\prime }\perp A{A}^{\prime }$ và $C^{\prime }{A}^{\prime }\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$, suy ra $C^{\prime }{A}^{\prime }\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.
Do đó $A^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của $C^{\prime }$ lên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, dẫn tới hình chiếu của $B{C}^{\prime }$ lên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $B{A}^{\prime }$.
Góc giữa $B{C}^{\prime }$ và $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $\widehat{C^{\prime }B{A}^{\prime }}$.
Trong tam giác vuông $C^{\prime }{A}^{\prime }B$ vuông tại $A^{\prime }$:
$A^{\prime }B=\sqrt{A{B}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.
Vậy $\tan \widehat{C^{\prime }B{A}^{\prime }}=\frac{C^{\prime }{A}^{\prime }}{A^{\prime }B}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.