Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh a, Góc giữa $A^{\prime }C$ và mp$(ABC)$ là $60^0$. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(A'BC) với I là điểm thuộc AB sao cho AI = 3IB

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng nên AA' ⊥ (ABC), hình chiếu của A'C lên (ABC) là AC, do đó góc giữa A'C và (ABC) là góc A'CA = 60°. Tam giác ABC đều cạnh a nên AC = a, suy ra AA' = AC·tan60° = a√3. Diện tích đáy S = a²√3/4, thể tích V = S·AA' = (a²√3/4)(a√3) = 3a³/4.

Khoảng cách từ I đến (A'BC): đặt hệ tọa độ A(0,0,0), B(a,0,0), C(a/2, a√3/2, 0), A'(0,0,a√3). I thuộc AB với AI = 3IB nên I(3a/4, 0, 0). Vectơ pháp tuyến của (A'BC): A'B = (a,0,−a√3), A'C = (a/2, a√3/2, −a√3), tích có hướng cho n = (3, √3, √3). Mặt phẳng: 3x + √3y + √3z − 3a = 0. Khoảng cách từ I: d = |3·(3a/4) − 3a| / √(9+3+3) = (3a/4)/√15 = 3a/(4√15) = a√15/20.

Kết luận: V = 3a³/4 và d(I, (A'BC)) = a√15/20.