Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$, cạnh bên bằng $a\sqrt{2}$.

a) Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

b) Tính góc giữa $A{C}^{\prime }$ và mặt bên $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đáy là tam giác đều cạnh $a$ nên $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Lăng trụ đứng có chiều cao $A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$, do đó $$V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{4}.$$ b) Vì lăng trụ đứng nên $AB\perp B{B}^{\prime }$ và $AB\perp BC$, suy ra $AB\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Hình chiếu của $A{C}^{\prime }$ trên mặt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là $B{C}^{\prime }$, nên góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ là $\widehat{A{C}^{\prime }B}$. Trong tam giác vuông $AB{C}^{\prime }$ (vuông tại $B$): $B{C}^{\prime }=\sqrt{B{C}^2+C{C}^{\prime 2}}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$. Do đó $\tan \widehat{A{C}^{\prime }B}=\frac{AB}{B{C}^{\prime }}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, suy ra góc bằng $30^{\circ }$.