Cho lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $I,K,G$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC,A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime },AC{C}^{\prime }$. Gọi $M,M^{\prime },N$ lần lượt là trung điểm của $BC,B^{\prime }{C}^{\prime },C{C}^{\prime }$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

$M{M}^{\prime }$ là đường trung bình của hình bình hành $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$.

a) Đúng: $\{<table><tbody><tr><td>M{M}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }</td></tr><tr><td>M{M}^{\prime }=B{B}^{\prime }</td></tr></tbody></table>\Rightarrow \{<table><tbody><tr><td>M{M}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }</td></tr><tr><td>M{M}^{\prime }=A{A}^{\prime }</td></tr></tbody></table>\Rightarrow AM{M}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành

Vì $I,K$ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác $ABC,A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $IM=K{M}^{\prime }=\frac{1}{3}{A}^{\prime }{M}^{\prime }=\frac{1}{3}AM$, mà $IM\parallel K{M}^{\prime }$ nên $IK{M}^{\prime }M$ là hình bình hành. Suy ra $IK\parallel M{M}^{\prime }$, $M{M}^{\prime }\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\Rightarrow IK\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. (1)

b) Sai: Gọi $N$ là trung điểm của $C{C}^{\prime }$, tam giác $AMN$ có $\frac{AI}{AM}=\frac{AG}{AN}=\frac{2}{3}$ (tính chất trọng tâm). Suy ra $IG\parallel MN$ mà $MN\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $IG\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ (2)

c) Sai: Từ (1) và (2) suy ra $(IKG)\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.

d) Vì $(\alpha )$ qua H và song song với mặt phẳng đáy nên $(\alpha )$ cắt mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ theo giao tuyến là đường thẳng $d_1$ qua H và song song $AB$, $d_1\cap B{B}^{\prime }=P$. $(\alpha )$ cắt mặt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ theo giao tuyến là đường thẳng $d_2$ qua P và song song $BC$. Gọi $d_2\cap C{C}^{\prime }=K$; $d_2\cap C{B}^{\prime }=J\Rightarrow (\alpha )\cap C{B}^{\prime }=J$. Ta có $BP=CK$ nên $\frac{JC}{J{B}^{\prime }}=\frac{CK}{P{B}^{\prime }}=\frac{BP}{P{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$. Vậy $\frac{JC}{J{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$.
a) Đúng: $\{<table><tbody><tr><td>M{M}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }</td></tr><tr><td>M{M}^{\prime }=B{B}^{\prime }</td></tr></tbody></table>\Rightarrow \{<table><tbody><tr><td>M{M}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }</td></tr><tr><td>M{M}^{\prime }=A{A}^{\prime }</td></tr></tbody></table>\Rightarrow AM{M}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành
b) Sai: Gọi $N$ là trung điểm của $C{C}^{\prime }$, tam giác $AMN$ có $\frac{AI}{AM}=\frac{AG}{AN}=\frac{2}{3}$ (tính chất trọng tâm). Suy ra $IG\parallel MN$ mà $MN\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $IG\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ (2)
c) Sai: Từ (1) và (2) suy ra $(IKG)\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.
d) Vì $(\alpha )$ qua H và song song với mặt phẳng đáy nên $(\alpha )$ cắt mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ theo giao tuyến là đường thẳng $d_1$ qua H và song song $AB$, $d_1\cap B{B}^{\prime }=P$. $(\alpha )$ cắt mặt $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ theo giao tuyến là đường thẳng $d_2$ qua P và song song $BC$. Gọi $d_2\cap C{C}^{\prime }=K$; $d_2\cap C{B}^{\prime }=J\Rightarrow (\alpha )\cap C{B}^{\prime }=J$. Ta có $BP=CK$ nên $\frac{JC}{J{B}^{\prime }}=\frac{CK}{P{B}^{\prime }}=\frac{BP}{P{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$. Vậy $\frac{JC}{J{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}$