Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $a$. Góc tạo bởi đường thẳng $A^{\prime }B$ và mặt phẳng $(A{A}^{\prime }C)$ bằng $30^{\circ }$. Thể tích khối lăng trụ bằng

Gọi $H$ là trung điểm của $AC$. Vì tam giác $ABC$ đều nên $BH\perp AC$, lại có $BH\perp A{A}^{\prime }$ nên $BH\perp (A{A}^{\prime }C)$. Do đó hình chiếu của $A^{\prime }B$ lên $(A{A}^{\prime }C)$ là $A^{\prime }H$. Góc giữa $A^{\prime }B$ và $(A{A}^{\prime }C)$ là góc $\widehat{B{A}^{\prime }H}=30^{\circ }$. Ta có $BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Trong tam giác vuông $A^{\prime }HB$: $A^{\prime }H=\frac{BH}{\tan 30^{\circ }}=\frac{a\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{3}}=\frac{3a}{2}$. Trong tam giác vuông $A^{\prime }AH$ (tại $A$): $A{A}^{\prime }=\sqrt{A^{\prime }{H}^2-A{H}^2}=\sqrt{\frac{9a^2}{4}-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$. Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{4}$. Chọn C.