Cho lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AC=4a$. Gọi $O$ là tâm của mặt $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Biết rằng hai mặt phẳng $(OAB)$ và $(OCD)$ vuông góc với nhau. Thể tích khối lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng

Đáy $ABCD$ là hình vuông có đường chéo $AC=4a\Rightarrow AB=BC=\frac{4a}{\sqrt{2}}=2a\sqrt{2}$.
Diện tích đáy: $S_{ABCD}=(2a\sqrt{2}{)}^2=8a^2$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Khi đó $MN=AD=2a\sqrt{2}$.
Gọi $O^{\prime }$ là tâm của đáy $ABCD$ thì $O{O}^{\prime }\perp (ABCD)$ và $O^{\prime }$ là trung điểm của $MN$.
Do tính đối xứng, góc giữa hai mặt phẳng $(OAB)$ và $(OCD)$ chính là góc $\widehat{MON}$.
Theo đề bài $(OAB)\perp (OCD)\Rightarrow \widehat{MON}=90^{\circ }$.
Tam giác $MON$ vuông cân tại $O$, do đó chiều cao lăng trụ là:
$h=O{O}^{\prime }=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}\cdot 2a\sqrt{2}=a\sqrt{2}$.
Thể tích của khối lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là:
$V=S_{ABCD}\cdot h=8a^2\cdot a\sqrt{2}=8a^3\sqrt{2}$.