Cho hàm số $y=f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $g(x)=f(x^3+1)$ nghịch biến trên khoảng

Ta có $g^{\prime }(x)=3x^2{f}^{\prime }(x^3+1)$.
Hàm số nghịch biến khi $g^{\prime }(x)<0\iff f^{\prime }(x^3+1)<0$ (với $x\ne 0$).
Dựa vào đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(u)<0\iff [\begin{array}{c}u<-1\\ 1<u<4\end{array}$.
Thay $u=x^3+1$ ta được:
$[\begin{array}{c}{x}^3+1<-1\\ 1<x^3+1<4\end{array}\iff [\begin{array}{c}{x}^3<-2\\ 0<x^3<3\end{array}\iff [\begin{array}{c}x<-\sqrt[3]{2}\\ 0<x<\sqrt[3]{3}\end{array}$.
Vì $(-\infty ;-2)\subset (-\infty ;-\sqrt[3]{2})$ nên hàm số $g(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-2)$.