Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 3cm, người ta cắt ở 4 góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gấp tấm nhôm lại như hình sau để được một cái hộp không nắp.



Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (cm) là cạnh của mỗi hình vuông bị cắt, $0<x<\frac{3}{2}$. Khi gấp lại ta được hộp không nắp có đáy là hình vuông cạnh $3-2x$ và chiều cao $x$, nên thể tích $$V(x)=x(3-2x{)}^2=9x-12x^2+4x^3,x\in \left(0;\frac{3}{2}\right).$$ Ta có $$V^{\prime }(x)=9-24x+12x^2=3(3-2x)(1-2x).$$ Trên $(0;\frac{3}{2})$: $V^{\prime }(x)>0$ khi $x<\frac{1}{2}$ và $V^{\prime }(x)<0$ khi $x>\frac{1}{2}$, nên hàm số đạt cực đại (cũng là giá trị lớn nhất) tại $x=\frac{1}{2}$. Khi đó $V_{\max }=\frac{1}{2}\cdot 2^2=2{\text{cm}}^3$. Vậy cạnh của các hình vuông bị cắt là $x=\frac{1}{2}$cm để thể tích hộp lớn nhất.