Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số $y=x^3+2x^2-4x-7$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=x^3+2x^2-4x-7$, tập xác định $\mathbb{R}$.

$$y^{\prime }=3x^2+4x-4$$

$y^{\prime }=0\iff 3x^2+4x-4=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=-2</td></tr><tr><td>x=\frac{2}{3}</td></tr></tbody></table>$

Vì $y^{\prime }$ là tam thức bậc hai với hệ số $a=3>0$ nên $y^{\prime }>0$ khi $x<-2$ hoặc $x>\frac{2}{3}$; $y^{\prime }<0$ khi $-2<x<\frac{2}{3}$.

Kết luận về tính đơn điệu:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $\left(\frac{2}{3};+\infty \right)$.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-2;\frac{2}{3}\right)$.

Cực trị:
- Tại $x=-2$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm đạt cực đại, $y_{CĐ}=y(-2)=-8+8+8-7=1$. Điểm cực đại $(-2;1)$.
- Tại $x=\frac{2}{3}$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm đạt cực tiểu, $y_{CT}=y\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{27}+\frac{8}{9}-\frac{8}{3}-7=\frac{8+24-72-189}{27}=-\frac{229}{27}$. Điểm cực tiểu $\left(\frac{2}{3};-\frac{229}{27}\right)$.