Cho parabol $(P):y^2=4x$ và hai điểm $A(0;-4);B(-6;4)$. $C$ là điểm trên $(P)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích bé nhất. Tìm tọa độ điểm $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng AB qua A(0;-4), B(-6;4) có hệ số góc $\frac{4+4}{-6-0}=-\frac{4}{3}$, phương trình $AB:4x+3y+12=0$, độ dài $AB=\sqrt{36+64}=10$ không đổi. Điểm $C$ trên $(P):y^2=4x$ có dạng $C(t^2;2t)$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d(C,AB)$ nên chỉ cần khoảng cách từ $C$ đến $AB$ nhỏ nhất: $d=\frac{|4t^2+6t+12|}{5}$. Tam thức $f(t)=4t^2+6t+12$ có ${\Delta }^{\prime }=9-48<0$ nên $f(t)>0$ với mọi $t$; $f$ đạt min tại $t=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$, $f_{\min }=4\cdot \frac{9}{16}-\frac{9}{2}+12=\frac{39}{4}$. Vậy $C=\left(\frac{9}{16};-\frac{3}{2}\right)$ (thỏa mãn $y^2=4x$).