Cho số thực dương $a$ khác 1. Biết rằng bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với trục hoành mà cắt các đồ thị của hàm số $y={\log }_{2}x$, $y={\log }_{a}x$ và trục hoành lần lượt tại $M,N$ và $A$ thì $AM=2AN$ (hình vẽ bên). Tính giá trị của $a$.

Dựa vào đồ thị ta thấy $0<a<1$.
Đường thẳng $x=m(m>0)$ cắt đồ thị của hàm số $y={\log }_{2}x$, $y={\log }_{a}x$ và trục hoành lần lượt tại $M(m;{\log }_{2}m),N(m;{\log }_{a}m)$ và $A(m;0)$.
Theo đề $AM=2AN\iff \left|{\log }_{2}m\right|=2\left|{\log }_{a}m\right|,\forall m>0\iff \{\begin{array}{l}{\log }_{2}m=2{\log }_{a}m,\forall m>0\\ {\log }_{2}m=-2{\log }_{a}m,\forall m>0\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}\frac{\ln m}{\ln 2}=\frac{2\ln m}{\ln a},\forall m>0\\ \frac{\ln m}{\ln 2}=-\frac{2\ln m}{\ln a},\forall m>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\ln a=2\ln 2\\ \ln a=-2\ln 2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=4\\ a=\frac{1}{4}\end{array}.$
Vì $0<a<1$ nên $a=\frac{1}{4}$.

Ghi chú: Lời giải in trong tài liệu nguồn (trang 81) viết ${\log }_{2}m=\pm {\log }_{a}m$ (bỏ hệ số 2) và kết luận $a=\frac{1}{2}$; điều này sai toán học vì từ $\left|{\log }_{2}m\right|=2\left|{\log }_{a}m\right|$ phải suy ra ${\log }_{2}m=\pm 2{\log }_{a}m$, tức $\left|{\log }_{a}2\right|=\frac{1}{2}$... chính xác là $|{\log }_{2}a|=2$, cho $a=4$ hoặc $a=\frac{1}{4}$. Kết quả đúng với điều kiện $0<a<1$ là $a=\frac{1}{4}$.