Cho tam giác $ABC$ có ${\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=2{\sin }^{2}A$. Khi đó giá trị của $\cos A$ thuộc nửa khoảng nào sau đây?

Theo định lý sin: $\sin A=\frac{a}{2R},\sin B=\frac{b}{2R},\sin C=\frac{c}{2R}$.
Giả thiết trở thành: $b^2+c^2=2a^2\iff a^2=\frac{b^2+c^2}{2}$.
Theo định lý côsin trong tam giác $ABC$:
$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+c^2-\frac{b^2+c^2}{2}}{2bc}=\frac{b^2+c^2}{4bc}$.
Vì $b^2+c^2\ge 2bc$ nên $\cos A\ge \frac{2bc}{4bc}=\frac{1}{2}$.
Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác: $a>|b-c|\Rightarrow a^2>(b-c{)}^2\iff \frac{b^2+c^2}{2}>b^2+c^2-2bc\iff b^2+c^2<4bc$.
Suy ra $\cos A=\frac{b^2+c^2}{4bc}<1$.
Vậy $\cos A\in \left[\frac{1}{2};1\right)$.