Cho tam giác $ABC$ có $\cos A=\frac{1}{3}$, $BC=9$ và $AC=6$, $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a=BC=9$, $b=AC=6$, $c=AB$, $\cos A=\frac{1}{3}$.

a) Định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\Rightarrow 81=36+c^2-4c\Rightarrow c^2-4c-45=0\Rightarrow c=9$ (nhận, $c=-5$ loại). Vậy $AB=9\ne 8$ → sai.

b) $\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 9\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=18\sqrt{2}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{abc}{4S}=\frac{9\cdot 6\cdot 9}{72\sqrt{2}}=\frac{27\sqrt{2}}{8}$, nên $S_{ht}=\pi R^2=\frac{729\pi }{32}\ne 9\pi$ → sai.

c) Độ dài trung tuyến $A{M}^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\frac{72+162-81}{4}=\frac{153}{4}$, $BM=\frac{9}{2}$. Trong tam giác $AMB$: $\cos \widehat{AMB}=\frac{A{M}^2+B{M}^2-A{B}^2}{2\cdot AM\cdot BM}=\frac{\frac{153}{4}+\frac{81}{4}-81}{2\cdot \frac{\sqrt{153}}{2}\cdot \frac{9}{2}}=-\frac{5}{\sqrt{153}}=-\frac{5\sqrt{17}}{51}\approx -0,405\ne \frac{\sqrt{3}}{5}$ → sai.

d) Nửa chu vi $p=\frac{9+6+9}{2}=12$, $r=\frac{S}{p}=\frac{18\sqrt{2}}{12}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$, nên $S_{nt}=\pi r^2=\frac{9\pi }{2}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $81=36+c^2-4c\Rightarrow c^2-4c-45=0\Rightarrow c=9$. Vậy $AB=9\ne 8$, khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$S=18\sqrt{2}$, $R=\frac{abc}{4S}=\frac{27\sqrt{2}}{8}$, $S_{ht}=\pi R^2=\frac{729\pi }{32}\ne 9\pi$, khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$A{M}^2=\frac{153}{4}$, $BM=\frac{9}{2}$, $\cos \widehat{AMB}=\frac{A{M}^2+B{M}^2-A{B}^2}{2\cdot AM\cdot BM}=-\frac{5\sqrt{17}}{51}\approx -0,405\ne \frac{\sqrt{3}}{5}$, khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$p=12$, $r=\frac{S}{p}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$, $S_{nt}=\pi r^2=\frac{9\pi }{2}$, khẳng định đúng.