Cho tam giác $ABC$ có $AB=1$, $AC=x$ $(x>0)$ và $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Các điểm $M$, $N$ được xác định bởi $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{NA}$. Khi đó $AM$ và $CN$ vuông góc với nhau khi $x$ bằng

Lời giải do AI cung cấp (không phải lời giải nguồn): Chọn $A$ làm gốc, gọi $\vec{b}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{c}=\overrightarrow{AC}$ với $|\vec{b}|=1$, $|\vec{c}|=x$, $\vec{b}\cdot \vec{c}=1\cdot x\cos 60^{\circ }=\frac{x}{2}$. Từ $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$ suy ra $3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, tức $\overrightarrow{AM}=\frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3}$. Từ $\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{NA}$ suy ra $3\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AA}=\vec{b}$ (với gốc $A$: $3N=B+2A$), do đó $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}=\frac{\vec{b}-3\vec{c}}{3}$. Khi đó $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{CN}=\frac{(2\vec{b}+\vec{c})\cdot (\vec{b}-3\vec{c})}{9}=\frac{2|\vec{b}{|}^2-6\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}-3|\vec{c}{|}^2}{9}=\frac{2-\frac{5x}{2}-3x^2}{9}$. $AM\perp CN\iff 2-\frac{5x}{2}-3x^2=0\iff 6x^2+5x-4=0\iff x=\frac{1}{2}$ (nhận, vì $x>0$) hoặc $x=-\frac{4}{3}$ (loại). Vậy $x=\frac{1}{2}$, chọn C. Điều này khớp với bảng đáp án chính thức trang 25 (Mã 1103, Câu 6 = C).