Cho tam giác $ABC$ có $AB=2$, $AC=3$, $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$:
a) Điểm $D$ thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.
b) Tính $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$.
c) Biểu diễn $\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{BD}$ theo $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$.
d) Chứng minh $AM\perp BD$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 19: Cho tam giác ABC có AB=2, AC=3, góc BAC=60°, M là trung điểm BC.

a) Điểm D thỏa mãn vecto AD = (7/12) vecto AC: D nằm trên tia AC sao cho AD = (7/12)·AC = (7/12)·3 = 7/4, tức D thuộc đoạn AC với AD/DC = 7/5.

b) Tích vô hướng: vecto AB · vecto AC = AB·AC·cos(BAC) = 2·3·cos60° = 6·(1/2) = 3.

c) Biểu diễn theo vecto AB, vecto AC:
- Vì M là trung điểm BC: vecto AM = (1/2)(vecto AB + vecto AC).
- vecto BD = vecto AD − vecto AB = (7/12)vecto AC − vecto AB.

d) Chứng minh AM ⊥ BD:
vecto AM · vecto BD = (1/2)(vecto AB + vecto AC) · ((7/12)vecto AC − vecto AB)
= (1/2)[(7/12)(vecto AB·vecto AC) − |vecto AB|² + (7/12)|vecto AC|² − vecto AC·vecto AB]
= (1/2)[(7/12)·3 − 4 + (7/12)·9 − 3]
= (1/2)[7/4 − 4 + 21/4 − 3]
= (1/2)[7 − 7] = 0.
Vậy vecto AM ⊥ vecto BD, tức AM ⊥ BD (đpcm).