Cho tam giác $ABC$ có $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$. $M$ là trung điểm của $BC$, $D$ là chân đường phân giác trong góc $A$.
a) Tính $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ từ đó suy ra $\cos A$.
b) Tính ${\overrightarrow{AM}}^2$ và ${\overrightarrow{AD}}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20. a) Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, nên $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos A=bc\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$.
b) Vì $M$ là trung điểm $BC$, ta có $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, suy ra ${\overrightarrow{AM}}^2=\frac{1}{4}\left({\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{AC}}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{4}\left(c^2+b^2+b^2+c^2-a^2\right)=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$.
Vì $AD$ là phân giác trong góc $A$ nên theo tính chất đường phân giác $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}$, do đó $\overrightarrow{AD}=\frac{b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}}{b+c}$. Khi đó
$${\overrightarrow{AD}}^2=\frac{1}{(b+c{)}^2}\left(b^2{c}^2+c^2{b}^2+2bc\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2}\right)=\frac{bc\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)}{(b+c{)}^2}=\frac{bc\left[(b+c{)}^2-a^2\right]}{(b+c{)}^2}=bc\left(1-\frac{a^2}{(b+c{)}^2}\right).$$
Kiểm tra: khi $b=c$ (tam giác cân) thì ${\overrightarrow{AD}}^2=b^2-\frac{a^2}{4}$, đúng bằng ${\overrightarrow{AM}}^2=\frac{4b^2-a^2}{4}$ vì khi đó $D\equiv M$. Kết quả phù hợp.