Cho tam giác $ABC$ có $AB=4\sqrt{2}$, $AC=6$, $\widehat{BAC}=45^{\circ }$. Gọi $D$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Điểm $E$ thoả mãn $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AC}$ $(k\in \mathbb{R})$ (xem hình).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos 45^{\circ }=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=24\ne 20$ → sai.
b) $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ → đúng.
c) $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=32+36-2\cdot 24=20$, vậy $BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$ → sai.
d) $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Ta có $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot \left(k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}\left(24k-32+36k-24\right)=\frac{1}{2}(60k-56)$. Cho bằng $0$: $k=\frac{56}{60}=\frac{14}{15}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \cos 45^{\circ }=24\ne 20$ nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $B{C}^2=32+36-2\cdot 24=20\Rightarrow BC=2\sqrt{5}\ne 3\sqrt{5}$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(60k-56)=0\Rightarrow k=\frac{14}{15}$, đúng.