Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi D là điểm đối xứng của B qua G, M là trung điểm của BC. Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{MD}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}$

(AI giải đề cho tôi)
Vì D đối xứng với B qua G nên G là trung điểm BD, do đó $\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{BG}$. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$. Vì M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{MB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Ta có:
$$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{BG}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}.$$
Thay $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$:
$$\overrightarrow{MD}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}.$$
Kiểm tra bằng tọa độ: đặt A(0,0), B(b), C(c) thì $G=\frac{b+c}{3}$, $D=2G-b=\frac{-b+2c}{3}$, $M=\frac{b+c}{2}$, nên
$$\overrightarrow{MD}=D-M=\frac{-b+2c}{3}-\frac{b+c}{2}=\frac{-5b+c}{6}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}.$$
Hai cách tính khớp nhau. Vậy $\overrightarrow{MD}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}$.