Cho tam giác $ABC$ đều tâm $O$, $M$ là điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu của $M$ xuống ba cạnh lần lượt là $D$, $E$, $F$. Hệ thức nào sau đây là đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $B=\left(-\frac{1}{2},0\right)$, $C=\left(\frac{1}{2},0\right)$, khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp (tâm đều) $O=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$. Thử với $M=A$: hình chiếu của $A$ xuống $BC$ là $D=(0,0)$ nên $\overrightarrow{MD}=\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$; hình chiếu của $A$ xuống $CA$ và $AB$ đều là chính $A$ nên $\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MF}=\vec{0}$. Vậy $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Mặt khác $\overrightarrow{MO}=O-A=\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$, so sánh suy ra hệ số $k=\frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}/3}=\frac{3}{2}$. Kiểm tra thêm với $M=O$: ba hình chiếu là trung điểm ba cạnh, ba vectơ từ $O$ đến chúng có độ dài bằng nhau và đôi một tạo góc $120^{\circ }$ nên tổng bằng $\vec{0}=\frac{3}{2}\vec{0}$, thỏa mãn. Kết quả khớp với đáp án D của đề: $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$.