Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB=5$. Tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng thỏa mãn hệ thức: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}=25$ là đường tròn có bán kính $R=\frac{a\sqrt{10}}{b}$, với $a$, $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị biểu thức $T=25a+2026b$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Ta có $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$, nên $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MI}=25$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với $AB=AC=5$ nên $BC=5\sqrt{2}$, $AI=\frac{BC}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$, $A{I}^2=\frac{25}{2}$. Dùng đẳng thức $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MI}=\frac{1}{2}\left(M{A}^2+M{I}^2-A{I}^2\right)$, ta được $M{A}^2+M{I}^2-A{I}^2=25$. Gọi $G$ là trung điểm $AI$: $M{A}^2+M{I}^2=2M{G}^2+\frac{A{I}^2}{2}$. Suy ra $2M{G}^2+\frac{A{I}^2}{2}-A{I}^2=25\Rightarrow 2M{G}^2=25+\frac{25}{4}=\frac{125}{4}\Rightarrow M{G}^2=\frac{125}{8}$. Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính $R=\sqrt{\frac{125}{8}}=\frac{5\sqrt{10}}{4}$, tức $a=5$, $b=4$ (nguyên tố cùng nhau). Khi đó $T=25\cdot 5+2026\cdot 4=125+8104=8229$, khớp với đáp án nguồn.