Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=a$, $\hat{C}=30^0$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ là điểm thuộc cạnh $AC$ sao cho $NC=2NA$, $K$ là giao điểm của $AM$ và $BN$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(0;a\sqrt{3})$ (vì $\tan 30^{\circ }=\frac{AB}{AC}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}$). Khi đó $N\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$, $M\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$.
a) Đường thẳng $AM$: $y=\sqrt{3}x$. Điểm $K$ trên $BN$: $K=B+t(N-B)=\left(a(1-t);\frac{ta\sqrt{3}}{3}\right)$. Thay vào $AM$: $\frac{t}{3}=1-t\Rightarrow t=\frac{3}{4}$. Vậy $\frac{BK}{BN}=\frac{3}{4}$, phân số tối giản với $a=3,b=4\Rightarrow a+b=7\ne 5$ → Sai.
b) $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ → Sai.
c) $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$ → Đúng.
d) $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=BC$. Trong tam giác vuông tại $A$, $\sin 30^{\circ }=\frac{AB}{BC}\Rightarrow BC=\frac{a}{1/2}=2a$ → Đúng. Khớp đáp án nguồn: Sai, Sai, Đúng, Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $A(0;0),B(a;0),C(0;a\sqrt{3})$, giao điểm $K$ của $AM$ và $BN$ cho $\frac{BK}{BN}=\frac{3}{4}$, nên $a+b=3+4=7\ne 5$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, không phải $\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=BC=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}=2a$ → Đúng.