Cho tam giác đều $ABC$ có tâm $O$. Gọi $I$ là một điểm tùy ý bên trong tam giác $ABC$. Hạ $ID,IE,IF$ tương ứng vuông góc với $BC,CA,AB$. Giả sử $\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{IF}=\frac{a}{b}\overrightarrow{IO}$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $n_a,n_b,n_c$ là các vecto đơn vị pháp tuyến hướng vào trong của các cạnh $BC,CA,AB$; vì tam giác đều nên $n_a+n_b+n_c=\vec{0}$. Gọi $d_a,d_b,d_c$ là khoảng cách từ $I$ đến $BC,CA,AB$ thì $\overrightarrow{ID}=-d_a{n}_a$, $\overrightarrow{IE}=-d_b{n}_b$, $\overrightarrow{IF}=-d_c{n}_c$, do đó $\vec{S}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{IF}=-(d_a{n}_a+d_b{n}_b+d_c{n}_c)$.

Vì $O$ là tâm tam giác đều (đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp bán kính $r$) nên khoảng cách từ $O$ đến mỗi cạnh bằng $r$, và theo định lý Viviani $d_a+d_b+d_c=h=3r$. Với mọi điểm $P$: $d_a(P)=d_a+\overrightarrow{IP}\cdot n_a$, nên $\overrightarrow{IO}\cdot n_a=r-d_a$ (tương tự với $n_b,n_c$).

Tính $\vec{S}\cdot n_a=-(d_a-\frac{d_b+d_c}{2})=-(d_a-\frac{3r-d_a}{2})=\frac{3}{2}(r-d_a)=\frac{3}{2}\overrightarrow{IO}\cdot n_a$. Tương tự với $n_b,n_c$. Vì $n_a,n_b,n_c$ sinh toàn mặt phẳng nên $\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{IF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{IO}$.

Vậy $\frac{a}{b}=\frac{3}{2}$ (tối giản), $a+b=3+2=5$.