Cho tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$, có $OA=4$. Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ ($M$ không trùng với $A,B$) và gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $OA$. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay tam giác $OMH$ quanh $OA$.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho $O(0;0)$, $A(4;0)$, $B(0;4)$.
Phương trình đường thẳng $AB$ là $x+y=4$.
Điểm $M(x;4-x)$ thuộc đoạn $AB$ với $0<x<4$.
$H$ là hình chiếu của $M$ lên $OA$, suy ra $H(x;0)$.
Độ dài $OH=x$ và $MH=4-x$.
Khi quay tam giác vuông $OMH$ quanh trục $OA$, ta được khối nón có chiều cao $h=OH=x$ và bán kính đáy $r=MH=4-x$.
Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi (4-x{)}^{2}x$.
Xét hàm số $g(x)=x(4-x{)}^2$ trên khoảng $(0;4)$:
$g^{\prime }(x)=(4-x{)}^2-2x(4-x)=(4-x)(4-3x)$.
$g^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{4}{3}\in (0;4)$.
Giá trị lớn nhất của $g(x)$ là $g\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{4}{3}{\left(4-\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{4}{3}\cdot \frac{64}{9}=\frac{256}{27}$.
Vậy $V_{\max }=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{256}{27}=\frac{256\pi }{81}$.