Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=a$, $AD=2a$; $SA$ vuông góc với đáy, khoảng cách từ $A$ đến $(SCD)$ bằng $\frac{a}{2}$. Tính thể tích khối chóp theo $a$.

Ta có $CD\perp AD$ và $CD\perp SA$ nên $CD\perp (SAD)$.
Trong mặt phẳng $(SAD)$, kẻ $AK\perp SD$ ($K\in SD$).
Khi đó $AK\perp CD$ nên $AK\perp (SCD)$, suy ra $d(A,(SCD))=AK=\frac{a}{2}$.
Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có đường cao $AK$, áp dụng hệ thức lượng:
$\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{D}^2}\iff \frac{1}{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{(2a{)}^2}\iff \frac{4}{a^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{4a^2}\Rightarrow \frac{1}{S{A}^2}=\frac{15}{4a^2}\Rightarrow SA=\frac{2a}{\sqrt{15}}$.
Diện tích đáy $S_{ABCD}=AB\cdot AD=a\cdot 2a=2a^2$.
Thể tích khối chóp là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 2a^2\cdot \frac{2a}{\sqrt{15}}=\frac{4a^3}{3\sqrt{15}}=\frac{4\sqrt{15}{a}^3}{45}$.