Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^2-2mx-2m+3$. Khi đó:

	Mệnh đề	Đúng	Sai
(a)	Với m = 1, tam thức f(x) có nghiệm x = 1.
(b)	Tam thức f(x) có biệt thức ${\Delta }^{\prime }=m^2+2m+3$.
(c)	Tam thức f(x) luôn dương với mọi $m\in (-3;1)$.
(d)	Giả sử tam thức $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$, khi đó biểu thức $P=x_1^2+x_2^2+8x_1{x}_2$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $m=\frac{3}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^2-2mx-2m+3$ với $a=1,b=-2m,c=-2m+3$.
(a) Với $m=1$: $f(x)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$, nên $x=1$ là nghiệm (nghiệm kép). Mệnh đề đúng.
(b) Biệt thức thu gọn ${\Delta }^{\prime }=b^{\prime 2}-ac=m^2-(-2m+3)=m^2+2m-3\ne m^2+2m+3$. Mệnh đề sai.
(c) $f(x)>0\forall x\in \mathbb{R}\iff {\Delta }^{\prime }<0\iff m^2+2m-3<0\iff -3<m<1$. Vậy với mọi $m\in (-3;1)$ tam thức luôn dương. Mệnh đề đúng.
(d) Hai nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }^{\prime }>0\iff m^2+2m-3>0\iff m<-3$ hoặc $m>1$. Theo Vi-ét: $x_1+x_2=2m$, $x_1{x}_2=-2m+3$. Khi đó $P=x_1^2+x_2^2+8x_1{x}_2=(x_1+x_2{)}^2+6x_1{x}_2=4m^2+6(-2m+3)=4m^2-12m+18=4(m-\frac{3}{2}{)}^2+9$. Hàm $P(m)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh $m=\frac{3}{2}$, nhưng $\frac{3}{2}\notin (-\infty ;-3)\cup (1;+\infty )$ nên trên miền xác định $P$ không đạt giá trị nhỏ nhất (trên $m>1$, $P$ giảm trên $(1;\frac{3}{2})$ rồi tăng, không đạt min tại đầu mút mở; trên $m<-3$, $P$ giảm nên không đạt min). Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với m=1: f(x)=x²−2x+1=(x−1)², có nghiệm x=1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ' = m² − (−2m+3) = m²+2m−3, không phải m²+2m+3.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(x)>0 ∀x ⇔ Δ'<0 ⇔ m²+2m−3<0 ⇔ −3<m<1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai nghiệm phân biệt ⇔ m<−3 hoặc m>1. P=(x₁+x₂)²+6x₁x₂=4m²−12m+18=4(m−3/2)²+9, đỉnh m=3/2 không thuộc miền xác định nên P không đạt GTNN tại m=3/2.