Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=3,AC=4,AD=6$, $\widehat{BAC}=60^{\circ },\widehat{CAD}=90^{\circ },\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

Sử dụng công thức thể tích khối tứ diện biết 3 cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh và các góc phẳng ở đỉnh đó:
$V=\frac{1}{6}abc\sqrt{1+2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -{\cos }^2\alpha -{\cos }^2\beta -{\cos }^2\gamma }$.
Ở đây $a=3,b=4,c=6$.
$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2},\cos 90^{\circ }=0,\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$.
Biểu thức trong căn: $1+0-\frac{1}{4}-0-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.
Do đó $V=\frac{1}{6}\cdot 3\cdot 4\cdot 6\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}=12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$.