Cho tứ diện $ABCD$, gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AB$ và $CD$, $P$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $AP=\frac{1}{4}AD$, mặt phẳng $(MNP)$ cắt $BD$ tại $I$. Biết tỉ số $\frac{IB}{ID}=\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+b$?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ toạ độ khái quát: đặt $\vec{A}=0$, $B=b$, $D=d$, $C=c$ (các vectơ cơ sở). Khi đó $M=\frac{b}{2}$, $N=\frac{c+d}{2}$, $P=\frac{d}{4}$. Điểm $I$ trên đường thẳng $BD$ có dạng $I=(1-s)b+sd$ với $s=\frac{\overline{BI}}{\overline{BD}}$. Vì $I\in (MNP)$ nên $I=\alpha M+\beta N+\gamma P$, $\alpha +\beta +\gamma =1$. So sánh hệ số theo $c$: $\frac{\beta }{2}=0\Rightarrow \beta =0$. So sánh hệ số theo $b$: $\frac{\alpha }{2}=1-s$; theo $d$: $\frac{\gamma }{4}=s$. Kết hợp $\alpha +\gamma =1$: $2(1-s)+4s=1\Rightarrow s=-\frac{1}{2}$. Vậy $I=\frac{3}{2}B-\frac{1}{2}D$, tức $I$ nằm ngoài đoạn $BD$ phía trên $B$, với $IB=\frac{1}{2}BD$ và $ID=\frac{3}{2}BD$. Suy ra $\frac{IB}{ID}=\frac{1/2}{3/2}=\frac{1}{3}$, phân số tối giản với $a=1,b=3$, nên $a+b=4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (4).