Cho tứ diện $OABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $O$, $AO$ vuông góc với mặt đáy. Gọi $OK$ là đường cao của tam giác $OBC$. Biết $OA=OB=OC=a$, khi đó

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $O(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(0;a;0)$, $A(0;0;a)$. Tam giác $OBC$ vuông cân tại $O$ nên $BC=a\sqrt{2}$, đường cao $OK$ cắt $BC$ tại trung điểm $K\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)$, suy ra $OK=\frac{a}{\sqrt{2}}$.
a) Vì $AO\perp (OBC)$ nên hình chiếu của $A$ lên $(OBC)$ là $O$, do đó hình chiếu của $AB$ lên $(OBC)$ là $OB$. Đúng.
b) $BC\perp OK$ (giả thiết) và $BC\perp OA$ (vì $OA\perp$ đáy), $OK,OA$ cắt nhau trong $(OAK)$ nên $BC\perp (OAK)$. Đúng.
c) Góc giữa $AB$ và $(OBC)$: $\sin \alpha =\frac{AO}{AB}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \alpha =45^{\circ }\Rightarrow \tan \alpha =1\ne \frac{1}{2}$. Sai.
d) $AK\perp BC$, $OK\perp BC$ nên góc nhị diện $[A,BC,O]=\widehat{AKO}$. Ta có $\tan \widehat{AKO}=\frac{AO}{OK}=\frac{a}{a/\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow \widehat{AKO}\approx 54,7^{\circ }\ne 45^{\circ }$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AO\perp (OBC)$ nên hình chiếu của $A$ lên $(OBC)$ là $O$, do đó hình chiếu của $AB$ lên $(OBC)$ là $OB$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp OK$ và $BC\perp OA$ với $OK,OA$ cắt nhau trong $(OAK)$ nên $BC\perp (OAK)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =\frac{AO}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \alpha =45^{\circ }\Rightarrow \tan \alpha =1\ne \frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện là $\widehat{AKO}$ với $\tan \widehat{AKO}=\frac{AO}{OK}=\sqrt{2}\Rightarrow \widehat{AKO}\approx 54,7^{\circ }\ne 45^{\circ }$.