Cho tứ diện $S.ABC$ trong đó $SA\perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại A và $SA=1;AB=2;AC=3$. Gọi K là trực tâm của $\Delta SBC$. Tính độ dài AK

$$(\text{Keˆˊt quả laˋm troˋn đeˆˊn haˋng phaˆˋn tra˘m})$$

Đáp án : 0,86



Gọi $M=SK\cap BC$

Ta có $SA\perp \left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC$ (1)

K là trực tâm của tam giác $SBC\Rightarrow BC\perp SK$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow BC\perp (SAK)\Rightarrow BC\perp AK$ (3)

Chứng minh tương tự ta có : $SC\perp AK$ (4)

Từ (3); (4) $\Rightarrow AK\perp (SBC)\Rightarrow AK\perp SM$.

$SA\perp (ABC)\Rightarrow SA\perp AM\Rightarrow \Delta SAM$ vuông tại A

Vậy trong tam giác vuông $SAM$ có $AK\perp SM\Rightarrow \frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{M}^2}$ (5)

Mặt khác : $\Delta ABC$ vuông tại A có $AM\perp BC$ $(BC\perp (SAK))\Rightarrow \frac{1}{A{M}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$ (6)

Từ (5) và (6) $\Rightarrow \frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}=\frac{49}{36}$

$\Rightarrow AK=\frac{6}{7}\approx 0,86$