Cho $x,y,z$ là các số thực dương và $x^2+y^2+z^2=3$. Tính giá trị nhỏ nhất
$$P=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}$$

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a=\frac{xy}{z},b=\frac{yz}{x},c=\frac{xz}{y}$ với $a,b,c>0$. Khi đó $a\cdot c=\frac{xy}{z}\cdot \frac{xz}{y}=x^2$, tương tự $ab=y^2$, $bc=z^2$, nên điều kiện $x^2+y^2+z^2=3$ trở thành $ab+bc+ca=3$. Bài toán trở thành: tìm $\min (a+b+c)$ với $ab+bc+ca=3$. Ta có $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\ge 3(ab+bc+ca)$ (vì $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$), suy ra $(a+b+c{)}^2\ge 9\Rightarrow P=a+b+c\ge 3$. Dấu bằng khi $a=b=c=1$, tức $x=y=z=1$ (thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$). Vậy $\min P=3$.