Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in [-2019;2019]$ để hàm số $y=(m-1)x^3+3m{x}^2+(4m+4)x+1$ đồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$?

Xét hàm số $y=(m-1)x^3+3m{x}^2+(4m+4)x+1$:
- Trường hợp 1: $m-1=0⟺m=1$. Khi đó $y=3x^2+8x+1$ có $y^{\prime }=6x+8$ đổi dấu trên $\mathbb{R}$ nên hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Loại $m=1$.
- Trường hợp 2: $m\ne 1$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi:
$y^{\prime }=3(m-1)x^2+6mx+4m+4\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$⟺\{\begin{array}{l}a=3(m-1)>0\\ {\Delta }^{\prime }=(3m{)}^2-3(m-1)(4m+4)\le 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m>1\\ 9m^2-12(m^2-1)\le 0\end{array}$
$⟺\{\begin{array}{l}m>1\\ -3m^2+12\le 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m>1\\ m^2\ge 4\end{array}⟺m\ge 2$.
Kết hợp với $m\in [-2019;2019]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{2,3,\dots ,2019\}$.
Số giá trị nguyên của $m$ là $2019-2+1=2018$. Chọn C.