Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(\sqrt[3]{f(x)+m}\right)=x^3-m$ có nghiệm $x\in [1;2]$ biết $f(x)=x^5+3x^3-4m$?

Đặt $t=\sqrt[3]{f(x)+m}\Rightarrow t^3-m=f(x)$.
Phương trình trở thành $f(t)=x^3-m\iff f(t)+t^3=f(x)+x^3$.
Xét hàm số $g(u)=f(u)+u^3=u^5+4u^3-4m$.
Ta có $g^{\prime }(u)=5u^4+12u^2\ge 0$ với mọi $u$, suy ra hàm số $g(u)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $g(t)=g(x)\iff t=x$.
Suy ra $\sqrt[3]{f(x)+m}=x\iff f(x)+m=x^3\iff x^5+3x^3-4m+m=x^3\iff x^5+2x^3=3m$.
Xét hàm số $h(x)=x^5+2x^3$ trên $[1;2]$:
$h^{\prime }(x)=5x^4+6x^2>0,\forall x\in [1;2]$, do đó hàm số đồng biến trên $[1;2]$.
Ta có $h(1)=3$ và $h(2)=2^5+2(2^3)=48$.
Phương trình có nghiệm trên $[1;2]$ khi và chỉ khi:
$h(1)\le 3m\le h(2)\iff 3\le 3m\le 48\iff 1\le m\le 16$.
Vì $m$ là số nguyên nên $m\in \{1,2,\dots ,16\}$. Có tất cả 16 giá trị nguyên của $m$.