Có bao nhiêu số hữu tỉ $a$ thuộc $[-1;1]$ sao cho tồn tại số thực $b$ thỏa mãn:
${\log }_2(1-a^2-b^2+2b)=\frac{2^a}{4^a+1}+\frac{4^a}{2^a+1}+\frac{1}{2^a+4^a}-\frac{1}{2}?$

+) Vế trái: ${\log }_2(1-a^2-b^2+2b)={\log }_2(2-a^2-(b-1{)}^2)\le {\log }_{2}2=1$ (1).
+) Xét vế phải: $f(a)=\frac{2^a}{4^a+1}+\frac{4^a}{2^a+1}+\frac{1}{2^a+4^a}-\frac{1}{2}$ với $a\in [-1;1]$.
Đặt $t=2^a$, với $a\in [-1;1]⟹t\in [\frac{1}{2};2]$.
Khi đó $g(t)=\frac{t}{t^2+1}+\frac{t^2}{t+1}+\frac{1}{t(t+1)}-\frac{1}{2}=\frac{t}{t^2+1}+t-1+\frac{1}{t}-\frac{1}{2}$.
Ta có ${\min }_{[1/2;2]}g(t)=g(1)=1⟹f(a)\ge 1,\forall a\in [-1;1]$ (2).
Từ (1) và (2), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{l}{\log }_2(1-a^2-b^2+2b)=1\\ f(a)=1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=0\\ b=1\end{array}$.
Vậy chỉ có duy nhất 1 giá trị hữu tỉ $a=0$ thỏa mãn.