Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=|3x^4-4x^3-12x^2+m|$ có 5 điểm cực trị?

Xét hàm số $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+m$.
Ta có: $f^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x=12x(x^2-x-2)=12x(x+1)(x-2)$.
$f^{\prime }(x)=0⟺x=-1$, $x=0$, $x=2$.
Các giá trị cực trị của $f(x)$ là:
$f(-1)=3(-1{)}^4-4(-1{)}^3-12(-1{)}^2+m=m-5$.
$f(0)=m$.
$f(2)=3(16)-4(8)-12(4)+m=48-32-48+m=m-32$.
Ta có $m-32<m-5<m$.
Hàm số $f(x)$ đã có sẵn 3 điểm cực trị.
Số điểm cực trị của hàm số $y=|f(x)|$ bằng 5 khi và chỉ khi phương trình $f(x)=0$ có 2 nghiệm đơn phân biệt (không trùng với các điểm cực trị) hoặc đồ thị $f(x)$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
Điều này xảy ra khi trục hoành $y=0$ nằm ngoài khoảng giữa các cực trị hoặc chỉ cắt đồ thị tại 2 điểm:
Trường hợp 1: Trục hoành nằm trên tất cả các điểm cực trị: $m\le 0$ (không có giá trị nguyên dương).
Trường hợp 2: Trục hoành nằm giữa $f(2)$ và $f(-1)$: $m-32<0\le m-5⟺5\le m<32$.
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{5,6,\dots ,31\}$.
Số giá trị nguyên dương của $m$ là: $31-5+1=27$ giá trị.