Đặt $a={\log }_{2}3,b={\log }_{5}3$. Hãy biểu diễn ${\log }_{6}45$ theo $a$ và $b$.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi về cơ số tự nhiên: $a=\frac{\ln 3}{\ln 2}\Rightarrow \ln 2=\frac{\ln 3}{a}$; $b=\frac{\ln 3}{\ln 5}\Rightarrow \ln 5=\frac{\ln 3}{b}$. Khi đó ${\log }_{6}45=\frac{\ln 45}{\ln 6}=\frac{2\ln 3+\ln 5}{\ln 2+\ln 3}=\frac{\ln 3\left(2+\frac{1}{b}\right)}{\ln 3\left(\frac{1}{a}+1\right)}=\frac{\frac{2b+1}{b}}{\frac{1+a}{a}}=\frac{a(2b+1)}{b(1+a)}=\frac{a+2ab}{ab+b}$. Kiểm tra số: $a\approx 1.585,b\approx 0.6826$, biểu thức $\approx \frac{1.585+2.164}{1.082+0.683}=\frac{3.749}{1.765}\approx 2.126$, đúng bằng ${\log }_{6}45\approx 2.126$. Vậy đáp án B.