Đội thanh niên xung kích của một trường THPT có 15 học sinh, gồm 6 học sinh khối 10, 5 học sinh khối 11 và 4 học sinh khối 12.
a) Tính số cách xếp 15 học sinh thành một hàng dọc sao cho các học sinh cùng khối đứng cạnh nhau và khối 12 không đứng ở đầu hàng.
b) Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh đi làm nhiệm vụ. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn thuộc không quá 2 khối.

a) Xếp 6 học sinh khối 10 đứng cạnh nhau thành một nhóm có 6! cách xếp.
Xếp 5 học sinh khối 11 đứng cạnh nhau thành một nhóm có 5! cách xếp.
Xếp 4 học sinh khối 10 đứng cạnh nhau thành một nhóm có 4! cách xếp. (0,25 điểm)
Vì khối 12 không đứng ở đầu hàng, nên vị trí đầu hàng chỉ có thể là nhóm khối 10, 11 nên có 2 cách chọn. 2 nhóm còn lại có 2! cách chọn.
Vậy số cách xếp 15 học sinh thành một hàng dọc sao cho các học sinh cùng khối đứng cạnh nhau và khối 12 không đứng ở đầu hàng là:
$2\cdot 2!\cdot 6!\cdot 5!\cdot 4!=8294400$ cách xếp. (0,25 điểm)

b) Số cách chọn 4 học sinh từ 15 học sinh đã cho là $n(\Omega )=C_{15}^4=1365$.
Gọi biến cố A: "4 học sinh được chọn thuộc không quá 2 khối".
$\overline{A}$: "4 học sinh được chọn mỗi khối có ít nhất một em".
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi khối có ít nhất một em được tính như sau:
+) Khối 10 có 2 học sinh, các khối 11, 12 mỗi khối có 1 học sinh. Số cách chọn là: $C_6^2.C_5^1.C_4^1=300$.
+) Khối 11 có 2 học sinh, các khối 10, 12 mỗi khối có 1 học sinh. Số cách chọn là: $C_6^1.C_5^2.C_4^1=240$.
+) Khối 12 có 2 học sinh, các khối 10, 11 mỗi khối có 1 học sinh. Số cách chọn là: $C_6^1.C_5^1.C_4^2=180$.
Suy ra, số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là:
$$n(\overline{A})=300+240+180=720.\text{ Neˆn }P(\overline{A})=\frac{n(\overline{A})}{n(\Omega )}=\frac{720}{1365}=\frac{48}{91}.$$ (0,25 điểm)
Vậy $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{48}{91}=\frac{43}{91}$. (0,25 điểm)

(Lưu ý: nguồn gốc ghi nhầm 'Xếp 4 học sinh khối 10' thay vì 'khối 12' ở lời giải phần a; giữ nguyên theo nguồn gốc.)