Giá trị của tổng $T=C_5^0+2C_5^1+2^2{C}_5^2+2^3{C}_5^3+2^4{C}_5^4+2^5{C}_5^5$ bằng

a) Tìm số hạng không chứa $x$ (số hạng tự do) trong khai triển của ${\left(x\sqrt{x}+\frac{1}{x^4}\right)}^n$ nếu biết rằng $C_n^2-C_n^1=44$.
b) Tìm hệ số của $x^8$ trong khai triển của ${\left(1+x^2-x^3\right)}^8$.
c) Tìm hệ số của số hạng chứa $x^8$ trong khai triển nhị thức Newton của ${\left(\frac{1}{x^3}+\sqrt{x^5}\right)}^n$ biết rằng $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^n=7(n+3)$.

Cho tổng: $S=\frac{C_{2026}^1}{2}+\frac{2C_{2026}^2}{3}+\frac{3C_{2026}^3}{4}+\dots +\frac{2025C_{2026}^{2025}}{2026}+\frac{2026C_{2026}^{2026}}{2027}$

Biết rằng tổng $S$ được viết dưới dạng phân số tối giản $S=\frac{a\cdot 2^b+1}{c}$ với $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính giá trị của biểu thức $P=c-b+a$.

Cho dãy gồm 2021 số được sắp thứ tự tăng dần như sau: $C_4^4;C_5^4;\dots ;C_{2023}^4;C_{2024}^4$. Lấy ngẫu nhiên ba số hạng liên tiếp từ dãy số đã cho, biết xác suất để tổng ba số này là một số lẻ bằng $\frac{a}{b}$, với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính giá trị $a+b$.

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, ta có
$$C_n^1+2C_n^2+3C_n^3+\cdots +n{C}_n^n=n.2^{n-1}$$

b) Trong một bài kiểm tra thường xuyên với thang điểm 10, đề kiểm tra gồm có 25 câu hỏi theo hình thức trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Để hạn chế việc học sinh không biết mà vẫn chọn đáp án, “mỗi câu chọn đúng được 0,4 điểm; chọn sai bị trừ 0,1 điểm”.

Giả sử có một học sinh làm chắc chắn đúng được 18 câu, các câu còn lại học sinh này chọn ngẫu nhiên một phương án. Xác suất để điểm toàn bài của học sinh này trên 8,5 điểm là bao nhiêu?

Cho ${\left(1-\frac{x}{2}\right)}^5=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Tính tổng $S=C_4^0-3C_4^1+9.C_4^2-27C_4^3+81C_4^4$