Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}-\sqrt{(x-1)(5-x)}+5$ là

Điều kiện xác định: $1\le x\le 5$. Đặt $t=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $t^2=4+2\sqrt{(x-1)(5-x)}\le 4+2\cdot \frac{(x-1)+(5-x)}{2}=8⟹t\le 2\sqrt{2}$. Lại có $t^2=4+2\sqrt{(x-1)(5-x)}\ge 4⟹t\ge 2$. Do đó $t\in [2;2\sqrt{2}]$. Từ đó suy ra $\sqrt{(x-1)(5-x)}=\frac{t^2-4}{2}$. Khi đó hàm số trở thành: $g(t)=t-\frac{t^2-4}{2}+5=-\frac{1}{2}{t}^2+t+7$. Parabol này có đỉnh tại $t=1\notin [2;2\sqrt{2}]$ và hệ số $a=-\frac{1}{2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên $[2;2\sqrt{2}]$. Do đó ${\max }_{[2;2\sqrt{2}]}g(t)=g(2)=-\frac{1}{2}(4)+2+7=7$ (đạt được khi $t=2⟺x=1$ hoặc $x=5$). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $7$.