Giá trị nhỏ nhất $m$ và giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $y=\frac{\sin x+2\cos x+1}{\sin x+\cos x+2}$ là

Tập xác định $\mathbb{R}$ vì $\sin x+\cos x+2=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+2\ge 2-\sqrt{2}>0$.
Quy đồng: $y(\sin x+\cos x+2)=\sin x+2\cos x+1\iff (y-1)\sin x+(y-2)\cos x=1-2y$.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
$(y-1{)}^2+(y-2{)}^2\ge (1-2y{)}^2\iff y^2-2y+1+y^2-4y+4\ge 4y^2-4y+1\iff 2y^2+2y-4\le 0\iff y^2+y-2\le 0\iff -2\le y\le 1$.
Vậy $m=-2$ và $M=1$.

Chọn đáp án D.