Giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=-x^3+m{x}^2+(m^2-12)x+2$ đạt cực tiểu tại $x=-1$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Xét hàm số $y=-x^3+m{x}^2+(m^2-12)x+2$:
- $y^{\prime }=-3x^2+2mx+m^2-12$.
- Để hàm số đạt cực trị tại $x=-1$ thì:
$y^{\prime }(-1)=0⟺-3(-1{)}^2+2m(-1)+m^2-12=0⟺m^2-2m-15=0⟺[\begin{array}{l}m=-3\\ m=5\end{array}$.
Kiểm tra lại:
- Với $m=-3$: $y^{\prime }=-3x^2-6x-3=-3(x+1{)}^2\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên không có cực trị. Loại $m=-3$.
- Với $m=5$: $y^{\prime }=-3x^2+10x+13=-(x+1)(3x-13)$. Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=-1$, do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$. Thỏa mãn $m=5$.
Giá trị $m=5$ thuộc khoảng $(3;6)$. Chọn D.