Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\tan (3x)-\frac{\sqrt{3}}{3}=0$;

b) $\sin \left(2x-\frac{\pi }{5}\right)-\cos x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 16a: Điều kiện $\cos (3x)\ne 0$. Phương trình $\tan (3x)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ cho $3x=\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, suy ra $x=\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$. Với các giá trị này thì $3x=\frac{\pi }{6}+k\pi$ không phải là $\frac{\pi }{2}+m\pi$, nên điều kiện thỏa mãn.

Câu 16b: $\sin \left(2x-\frac{\pi }{5}\right)=\cos x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$.

Trường hợp 1: $2x-\frac{\pi }{5}=\frac{\pi }{2}-x+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{7\pi }{10}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{7\pi }{30}+\frac{2k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 2: $2x-\frac{\pi }{5}=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+2k\pi =\frac{\pi }{2}+x+2k\pi \Rightarrow x=\frac{7\pi }{10}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình b) là $S=\left\{\frac{7\pi }{30}+\frac{2k\pi }{3};\frac{7\pi }{10}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kiểm tra: với $x=\frac{7\pi }{10}$, $2x-\frac{\pi }{5}=\frac{6\pi }{5}$, $\sin \frac{6\pi }{5}=-\sin \frac{\pi }{5}$ và $\cos \frac{7\pi }{10}=-\sin \frac{\pi }{5}$, thỏa mãn.