Giải các phương trình sau:

a) $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{-1}{2}$.

b) $\cos x-\cos 2x=0$.

a) $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{-1}{2}\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x-\frac{\pi }{4}=\pi -\left(-\frac{\pi }{6}\right)+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$

$\iff x=\frac{\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{17\pi }{12}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.

b) $\cos x-\cos 2x=0\iff \cos 2x=\cos x$

$\iff 2x=x+k2\pi$ hoặc $2x=-x+k2\pi$

$\iff x=2k\pi$ hoặc $x=\frac{2k\pi }{3}$ $(k\in \mathbb{Z})$.

Họ nghiệm $x=2k\pi$ nằm trong họ nghiệm $x=\frac{2k\pi }{3}$, vì $2k\pi =\frac{2(3k)\pi }{3}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{2k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.